认识二次函数的图象性质

                     认识二次函数的图象性质

一、复习引入

1、引入：回忆前面两个函数的学习，都是先从解析式和图象性质和应用三个方面，那么上节课我们认识了二次函数的解析式。复习解析式。那么接下来这一节课我们就来学习二次函数的图象。在学习之前我们也回忆一下一次函数和反比例函数的图象性质。

2、复习二次函数的解析式

，这个解析式只跟系数a有关

，这个解析式跟系数a、c有关

，这个解析式与系数a、b有关。

2、复习一次函数和反比例函数的图象与系数的关系

师：这是什么函数的图象？

生：一次函数。

师：解析式是什么？

生：

师：什么条件决定了该条直线的分布？

生：k>0,b>0.

师：也就是k、b的符号决定了图象的分布，也就是图象的位置。而决定了直线的倾斜程度。即函数图象的形状大小。那反比例函数的图象是什么？

生：双曲线。

师：它的分布又是由什么决定的？

生：k>0

师：那和函数图象又有什么关系呢？

生：越大，函数图象越远离坐标轴。

师：也就是反比例函数的系数k决定了反比例函数图象的位置、形状和大小。那么二次函数的图象与系数又有什么关系呢？一起研究三个有点难度，我们就从一个a先开始。那么对于系数a与图象的关系的研究就可以研究二次函数的图象。

二、探究的图象性质

1、作图：类比前两个函数图象的学习，作一个函数图象的三个步骤是什么？

列表、描点、连线。

学生先列表。在描点以后，发现图象的大致形状还是比较模糊。所以建议再多取几个点。并且留意到学生在列表的过程中没有取都是正数这种不对称点的情况。要是以后有，还需要说明取数据的问题。学生连线的时候就发现，这些点不能连成一条直线，所以选择用光滑的曲线来接。并且介绍二次函数的图象就是一条抛物线。

2、探究图象的特征：

师：类比一次函数与反比例函数的图象，我们是从哪几个方面来研究的呢？

生：增减性、位置、对称性（教师板书这三个板块）

师：那请同学们从这几个方面来观察的图象有什么特征。

学生自主探索活动后，先从图象的位置来说：

生：图象位于一、二象限。

师：换言之，图象都在x轴的上方。那么从函数值的特点来解释呢？（不晓得这个文法对不对，但是学生还是给出了答案）

生：

师：那就是说函数值都是比0大的或者等于0。即函数值有最小值是吗？是多少呢？

生：y有最小值是0

师：在x取什么值的时候？

生：当x=0的时候

师：刚才从这个“数”的方面来解释。那么从“形”来看，有最小值就是因为从图象上可以看出这个图象具有最低点是吧。那这个点就是抛物线的顶点，在哪里？

生：原点。

师：坐标呢？

生：（0，0）

师：在学习一次函数和反比例函数的时候，我们都会从象限的分布来谈图象的位置。而二次函数我们是从图象的位置来描画抛物线的顶点，最值这两个性质。那么图象的对称性呢？

生：抛物线是轴对称图形。

师：对称轴在哪儿？

生：y轴

师：对于二次函数图象的对称轴我们常用来表示y轴。这也是我们之前就认识的常数函数，是一条垂直于x轴的直线。想象一下，当抛物线向左右平移以后，它仍然是轴对称图形，那对称轴这样来描述就很方便了。再看抛物线的增减性呢？

生：y随着的增大而增大。

师：为什么？

生：第一象限（也有学生说y轴的右边）的时候，x增大，y也增大。第二象限的时候，x越小，y就越大。

师：第一象限上x的取值范围是什么？

生：

师：首先，作为函数图象的增减性是描述随着自变量x的变化函数值是怎样变化的。通常是随着自变量的增大函数值在怎样变化。所以你这个结论可以描述为：当时，y随x的增大而增大。请直观的看图象，在对称轴的右边是上升的，是不是只有“增”的感觉？而当时，y随x的增大而减小，从图象直观的看在对称轴的左边是下降，有“减”的感觉。从图象看，抛物线有增有减，以什么为界限来分开呢？

生：顶点。也有答对称轴

师：就是对称轴的左右两边看增减性。那么所有的二次函数 都具有这样的特征吗？我们再作几个函数图象来看看。

3、作函数图象，并分别指出它们的顶点、对称轴、增减性。

师：抛物线有时候有最大值，有时候有最小值。而增减性，在对称轴的左边有时候是增，有时候是减。那这些都是由什么决定的呢？

生：抛物线的方向。

师：那就是抛物线的开口方向了。那什么时候开口朝上，什么时候开口朝下呢？

生：的时候开口朝上，时开口朝下

师：那同学们能总结出抛物线的函数图象性质吗？请同学们完成表格开口方向顶点对称轴最值增减性

     

     

三、探究系数的作用

师：对于一次函数和反比例函数我们都知道系数“k”的符号决定了位置，而决定了图象的形状大小。那么对于二次函数中系数的符号决定了抛物线的开口方向，那么又决定了抛物线的什么呢？

生：越大，图象越靠近y轴。

师：那我把跑五项向右平移一些，图象的形状变了没？还是靠近Y轴吗？

生：形状没变，是更靠近对称轴。

师：对了，那就是说当越大的时候，抛物线更瘦。也就是说决定了抛物线的形状大小。

由此我们可以总结出，当抛物线的形状大小不变时，也不变。比如，一条抛物线形状大小与相同，开口方向不同，的值是多少？

四、总结

 二次函数的图象是一条抛物线，学习抛物线的特征是为了将来根据这个特征来判断这个抛物线的解析式是这样的形式。比如当你看到一条抛物线是关于y轴对称，顶点在原点的，那么这条抛物线的解析就是。再利用图象上的已知条件带入解析式就可以求出待定系数的值，从而确定这个函数解析式。

五、课后反思

学生在接触二次函数图象的时候是由一次函数和反比例函数图象知识和学习经验作为储备。但是在描述抛物线的特征的时候是很难建立“开口方向、的作用”等这样的知识结构的。所以在新授课的时候如果直接建立函数的五方面性质是一种强行的灌输，并没有形成知识建构。所以倾听学生的发现，并用追问的形式来引导学生往“五方面”的方向来思考。

其次，这节课的类比思想不仅仅是体现在学习函数的“步骤”上面。更是体现在函数图象和系数关系这一本质的类比上面。从学习图象的过程、图象的特征、系数的作用都可以类比一函数或者反比例函数来学习。这样的连贯性更能加强学生利用类比思想转化知识结构的本质。