赵兰讲座 探秘数运算

在工作室两年半的学习与研究中，我们走进过数运算，可如今再次选择数运

算的活动，发现自己对于“教什么”是没有吃透的，今天带着张俊老师《幼儿园

数学领域教育精要》这本书前言部分中所提到的，“我们所教给幼儿的数学概念究竟是什么？”“幼儿学习和理解这些概念的进程（学习路径）是怎样的？”“各年龄段的幼儿需要哪些关键经验”“如何基于幼儿的学习路径，有效指导幼儿的数学学习”几个问题，我再次走进并探秘“数运算”。

    一、数运算的概念

    在回顾数运算的概念前，我们先对比一下《学前儿童数学学习与发展核心经验》、《幼儿园数学领域教育精要》两本书中关于数学内容板块的划分以及对数运算概念的阐述。

    1、黄瑾教授《学前儿童数学学习与发展核心经验》中将数学内容分为“集合与模式、数概念与运算、比较与测量、几何与空间”四个主题。

数运算，一般有两种解释：一种是把运算解释成“结合法则”，即由集合的两个元素结合成这个集合的一个新元素的法则，如3+1=4；另一种是把运算解释成函数。对于学前儿童来说，有关数的运算，主要指10以内数的加减运算。当幼儿开始关注两个集合组合在一起，或者把一个大的集合分成几个部分时发生了什么，那么他们就开始理解数量的变化，即在形成数运算的概念。

2、而在张俊老师的《幼儿园数学领域教育精要》把幼儿园数学教育的内容分为了“数与量”、“图形与空间”两个系列。“数与量”包括“数的意义、数量关系、数的运算”，“图形与空间”包括“几何图形、空间关系、空间测量”。

数的运算包括“数量的分合”和“数的运算”两个部分。“数量的分合”，实质上是数群和子群之间存在着等量、互补、互换关系的反映，包括“具体的量的分合”与“抽象的数的分合”两部分，包含着分解和组合两个方向，指一个总数可以分成几个部分数（量），几个部分数（量）可以合成一个数量（总量）。幼儿对数的分合的理解是建立在量的分合的基础之上。“数的运算”主要指加减运算。加法，从集合的观点看，设A、B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是a、b，如果集合A、B的并集是C，那么并集C的基数c就叫作a与b的和，求两个数的和的运算叫作加法。减法，已知两个数c、a，要求一个数b，使b与a的等于c，这种运算叫作减法。从集合的观点看，已知有限集合C、A，集合A是集合C的一个子集，它们的基数分别是c、a，求C与A的差集B的基数b的运算叫作减法。

二、数运算的核心经验

数运算的核心经验主要包括以下几点：

内容	核心概念	示例
集合的变化 ☆☆＋☆☆☆	往一个集合里添加物体（组合）或者拿走物体（分解）会使集合发生变化。 数量的变化	你有2个皮球，我有3个皮球。我们一共有多少个皮球？ 你有12张卡片，给朋友5张，你还剩多少张？
集合的比较 ☆☆＜☆☆☆	集合之间可以根据数量的属性进行比较，还可以根据多、少或相等进行排序。 数量的比较	我有一把葡萄干，克丽丝有一碗葡萄干。克丽丝的多！ 我有1个梨和1个桃子，你有2个苹果。我们的水果数量一样多。 艾弗里有3个脏碟，特蕾西有4个脏碗。谁要洗的碗碟少？
数字的组成 ☆☆☆  ☆☆	一定数量的物体（整体）可以分成几个相等或不等的部分，这几个部分又可以合成一个整体。	使用双手，可以有多少种方式表示5？

埃里克森儿童发展研究生院早期数学教育项目核心概念表
    核心经验二：数量的比较  多多少 少多少等

*对于比较小的集合，或能够清楚估算时→ 幼儿可以通过直观的比较。

*对于比较大的集合，或不能清楚估算时→ 采取的策略是匹配（直接建模的一种）即幼儿依次排列每个集合的物体，上下对应比较、重叠比较或并放比较 。

 进入大班后，从视觉去匹配→直接进行数量比较、排序（从少到多，从高到矮等）

三、儿童数运算进程

（一）幼儿掌握数量分合的发展

1、从5岁开始有可能理解数量的分合，此阶段的幼儿借助实物对分解、组成有所理解，但这种理解尚不完全、不稳定，直觉作用明显。如：知道8可以分成4和4、6和2，但不知道8还可以分成5和3、3和5、7和1、1和7、2和6。
    2、5岁半后能初步理解，并完全会分解和组成的人数增至25％－30％。
    3、6岁幼儿接近基本完全会分解、组成的人数达到40％。

4、6岁半组和7岁半组的幼儿大部分已能掌握8的分解、组成，完全掌握的人数达到65％－85％。此时，幼儿能够完全地说出或用实物摆出8的各组分解或组成的形式。

（二）幼儿加减运算能力的发展

1、幼儿加减运算概念发展的三种水平。

幼儿加减运算概念的发展，总的来说可以从具体到抽象和从逐一加减到按群加减这两方面进行考察。逐一加减，如：通过计数的策略进行加减运算。按群加减，如：幼儿能把数作为一个整体，从抽象的数群出发进行数群间的加减运算。

这一发展过程可划分为三个水平层次：动作水平的加减、表象水平的加减、概念水平的加减。动作水平是指：以实物或图片等直观材料为工具，借助于合并、分开等动作进行加减运算。表象水平是指：在头脑中依靠对形象化物体的再现、依靠物体的表象进行运算：运用口述应用题，以表象为依托，帮助幼儿理解题意、数量关系和运算符号，选择正确的方法进行运算。概念水平是指：数群概念水平上的加减运算，抽象水平上的加减，不需要借助实物的直观操作或以表象为依托，运用抽象的数概念进行加减运算。

2、幼儿加减运算能力的发展。

（1）幼儿运用实物操作的方法学习加减运算

* 3岁半以前的幼儿面对实物，尚不知道用它来帮助进行加减运算。

* 4岁以前基本不会加减运算，但能解答一些与生活实际有密切联系的应用题；

* 4岁幼儿一般会自己运用实物进行加减运算了，能借助动作将实物合并或拿开后进行加减运算，但不能脱离实物，运算的方法是通过重新点数总数或剩余数得出结果的逐一计数，但不能理解；

* 4岁以后，已经表现出初步的运用表象进行加减运算的能力了。

（2）幼儿运用数数的方法学习加减运算

* 5岁以后，能利用表象进行加减运算，运算方法上出现了逐一加减，能将学到的顺着数和倒着数的经验运用到加减运算中。

掌握加法时，大数加小数比小数加大数更容易，学习减法时，减数小比减数大更容易。

（3）幼儿运用数组成的知识学习加减运算

* 5岁半以后，不仅能运用数的组成知识进行加减运算，而且能运用表象解答口头应用题的能力提高，达到按数群运算的程度。

四、各年龄班数运算关键经验

 

数运算 内容	各年龄班数运算关键经验
	小班	中班	大班
数量的 分合		1.进行5以内数量的分解与组合，体验一个量可以分成两个部分、两个部分的量合起来就是原来的总量	1.进行10以内数的分解与组合，理解分合中的互换、互补关系。 2.体验数量的多种分合方法。 3.能对一定数量的物体进行等分，如二等分和四等分。
数的 运算		1.借助实物或情景理解10以内集合的数量变化	1.借助动作、表象进行10以内的加减运算，理解加减的实际意义。 2.认识+、—、=和加减算式，初步理解算式表示的意义。

（一）中班幼儿数运算关键经验解析

幼儿5岁半以后能够初步理解数量的分解与组合，数量“5”是幼儿开始学习数量分合的一个适中的数目，所以，在中班下学期进行5以内数量分合的教学具备可行性。中班下学期组织数量分合教学活动的重点在于让幼儿体验一个量可以分成两个部分量、两个部分量合起表就是原来的总量，且一个量有不同的分合方式。幼儿在探索这些不同的分合方式的程中观察发现，虽然分合结果各不相同，但是都有一个共同的规律，即每种分法的两个部分量合起来都跟总量一样，从而能够进一步体验部分与总体的分合关系，也为以后理解数的多重分法做铺整。

（二）大班幼儿数运算关键经验解析

大班是幼儿正式进行系统的10以内（除1外）数量分合学习的时期。此时

学习的重点是领会分合中抽象的数量关系，进行抽象的数的分合学习，包括数的分合规律以及分合中的等量、互补与互换关系。

以往的数量分合教学活动中，幼儿只学习将数量分成两个部分，但是幼儿在生活中或是在游戏活动中不可避免地会遇到数量被分为两个以上部分的情况。如，《躲猫猫》和《老狼老狼几点了》最后都让幼儿感受数量被分成三个部分。数量的多种分合方式的目的不在于要让幼儿知道一个数量包括但不限于二分法的所有的分法，而在于发展幼儿思维的灵活性，在具体的问题情景中能够转换思维方式，对数的认识不局限于“是由两个部分组成的”。

注意：教师需要引导幼儿在数量的分合与加减运算之间建立联系，如，同时用数的分合式与算式表示同一个应用题，让幼儿发现数的分合式与加减运算式之间的同构性。

加减法是互为逆运算的：幼儿在之前学习数量的分合时已积了一定的关于逆反关系的经验，他们会逐步发现，加法是把两个小数群合为一个大数群，减法是一个大数群去掉一个小数还下另一个小数群。

（三）关键经验的相关概念
    1、数的分合规律是指数分合方法的递增规律，即2有1种分法，比2本身少1，3有2种分法，也比3本身少……依此类推；每个数的第一组分法是由1和比它本身少1的数组成，第二种分法是由2和比它本身少2数的组成。（图片）

2、等量关系是指总数可以分成相等或不相等的两个部分数，两个部分数合起来等于总数。如，4可以分成2和2、1和3；2和2合起来是41和3合起来也是4，可用公式A＝B＋B＇表示。

3、互补关系是指在总数不变的情况下，一个部分数逐一减少（或增加）、另一个部分数逐一增加（或减少），这是部分数之间的互补关系。

4、互换关系是指两个部分数交换位置，总数不变。如，5可以分成2和3，如果将2和3换个位置变成3和2，合起来也是5。

    五、数运算活动的有效指导

（一）数量分合活动的有效指导

幼儿对数的分合的理解，实质上是数群概念的获得。幼儿首先需要在操作中直接感知数量的分合，积累分合的经验，教师再利用幼儿的记录资料和感受体验，帮助幼儿将分合的感性经验进行整理、归纳，提升为抽象经验。

感知部分与整体的关系——积累数量分与合的经验——领会数的分解规律、掌握数的分合关系——拓展分合思路，体验多种分合方式

（二）加减运算活动的有效指导

1、感知、体验加减运算

（1）通过生活实例，感知、体验数量变化

教师可结合日常生活情境，向幼儿提出解答加减运算的问题。如，活动“擦了几个杯子”中，教师安排了一次合作劳动一一两人一组擦杯子。它要求每组幼儿擦完杯子后要在一张记录单上记录三个数字：自己擦的杯子数、同伴擦的杯子数、小组（两人）合起来擦的杯子数。这实际上也是教师为幼儿学习加法所创设的间题情境，与前一情境所不同的是：幼儿需要将自己擦的杯子数、同伴擦的杯子数及两人合起来所擦的杯子数均用数字记录下来。此时，幼儿用数字进行记录既表达了他对情境中数量关系的理解和认识，同时也表达了问题解决的结果。

（2）通过实物操作、口述应用题，理解加减法含义

实物操作与口述应用题可为幼儿理解加减法的含义提供具象的、表象的支撑。如幼儿通过实物操作、口述应用题初步理解合并加法的含义，首先，幼儿学会把两组物体合并在一起，求一共有多少个，用动作演示合并、相加的过程。其次，教师借助多种实物教具，通过演示和讲解，使幼儿初步理解加法的含义。教师一边在绒板上出示1张小鸡图片，一边引导幼儿说“草地上有1只小鸡”，稍等一会儿，教师又出示1张小鸡图片，并引导幼儿说“又来了一只鸡？”然后边用手圈画草地上的2张小鸡图片，边问幼儿“草地上一共有几只小鸡？”幼儿回答后，教师边演示边说“要算出草地上有几只小鸡，我们就要把原来的1只小鸡和又来的1只小鸡合并在一起，即1只小鸡加上1只小鸡，一共有2只小鸡”。通过教师的演示和说明，让幼儿既看到1只小鸡和1只小鸡合并的过程，又看到合并的结果，从而帮助幼儿初步理解了加法的含义。

2、学习列式加减算式，理解算式意义

（1）学习用数字、符号记录加减运算过程和结果，理解算式的含义

（2）引导幼儿理解一个加减算式可以标识两件或多件事情

如教师在黑板上出示3+2=5这道算式，一位幼儿用晨间体育活动的情景来说明算式表示的含义，“操场上有3个小朋友在跳绳，又来了2个小朋友，操场上一共有5个小朋友在跳绳”。鼓励幼儿迁移生活经验，有一位幼儿说：“我先擦了3把椅子，后来我又擦了2把椅子，我一共擦了5把椅子。”

3、学习自编应用题

幼儿学习自编应用题的重点是掌握应用题的结构，而难点则是如何让幼儿根据题目中的条件提出一个问题，请别人解答。可采用一下的步骤和策略。

（1）观察三幅情景图，学习自编应用题

教师将加减应用题按其数量关系的变化设计为三幅图。第一幅图表示事物原有的数量：第二幅图表示该事物数量的变化过程（数量增加或减少），第三幅图表示该事物数量关系变化后的数量，这幅图直接地表示了问题的答案。教师出示这三张表示事物数量关系变化的情景图后，幼儿就可以独立地观察并讲述图意，而不需要在教师的直接指导下进行操作或回答问题。

教师在引导幼儿观察三幅图时，应注意以下几个问题。
首先，教师应向幼儿指出三幅图讲的是一件事，让幼儿明白三幅图的内

容是有联系的，应连起来看和思考。

其次，教师应引导幼儿讲述三幅图的图意，使幼儿通过自己的讲述，理解
应用题中所表达的数量关系。

最后，教师应引导幼儿用数字、符号列出算式，表达三幅图中的数量关系，也就是说，引导幼儿用数字、符号将三幅图的图意记录下来。

（2）引导幼儿根据生活经验自由编题
幼儿编题的素材也可来自他们的生活经验。教师可启发幼儿选用身边发生

的事情作为自编应用题的内容。去超市，买了什么，每样物品的价格是多少，计算一下自己用了多少钱，还剩多少钱。体现数学是有用的。

4、运用多种形式练习加减运算

（1）运用多种感官练习

视觉练习：看图，出示两张画有不同数目小鱼的图片，让幼儿看图回答“图上一共有几条小鱼？”并说明是用什么方法算出来的。

听觉练习：按声响的次数进行计算。如教师第一次敲了两下铃铛，第二次敲了三下铃铛，让幼儿用数字记录两次敲铃的次数并计算敲的总次数。

触摸觉：布袋摸弹珠，让幼儿分别用两只手摸弹珠，然后讲出一只手摸了几颗，另一只手摸了几颗，回答一共摸了几颗。

（2）在游戏中练习

掷骰子列算式；翻得数。

有关幼儿数运算的指导，无论是集体活动还是区角活动或日常活动，更多的要以“解决问题”的教学方式为主，遵循幼儿数运算概念的发展轨迹，以符合幼儿认识发展特点为立足点展开教学设计。因此，我们在数运算的活动设计和指导中，应该更关注幼儿对数学问题的理解，而非只关注“正确答案”，要在操作和表达中进一步促进幼儿数认知能力的发展。

六、大班数学《躲猫猫》活动反思：

（一）教学活动游戏化，为幼儿提供用数学解决问题的机会。

（二）着眼积累数学技能的同时，注重培养幼儿数学思维、过程性能力的发展。

（三）基于幼儿的认知特点，有目的地设计实物与图示材料。

（四）活动环节设计层层递进，具有高度的游戏性与参与性。

不足：

1、活动时间太长，课堂节奏拖沓。

2、目标指向性太强，直接给到孩子的东西太多。

3、临场调控能力需提升。

4、提问语言的精确性和开放性体现不够。

调整：

（一）调整目标，优化环节，提高课堂节奏。

1、降低目标难度

• 在游戏中，理解5以内数的分解与组成。

• 在猜测的游戏中，感知数量越大，躲猫猫的方法越多。

• 理解并遵守规则，体验游戏活动的快乐。

2、合并游戏规则，突出重点，复述规则的时候强调关键词。

• 猜的队闭上眼睛念儿歌，躲的队藏到房子后面，房子后面必须要有人。

• 念完儿歌猜，猜对了得1分，猜错了不加分，犯规对方加一分。

• 别人躲过的方法不能再用。

3、心中有目标，把第一轮游戏、第二轮游戏中3和4的节奏提起来。

4、有意识地引导幼儿了解“这个部分数在增加，另一个部分数在减少”。

（二）运用关键性提问，思考怎么把自己知道的知识给到幼儿。

1、把握幼儿年龄特点和幼儿数运算发展轨迹，吃透数的组成与分解，并内化，思考运用什么样的关键性问题和追问，把知道的知识循序渐进告诉幼儿，而不是把经验直接给到孩子。

2、动作提示，红房子躲了几个小朋友，绿房子躲了几个小朋友，红房子和绿房子一共躲了几个小朋友（手势）。原来3个小朋友分在了两幢房子，1幢房子1个小朋友，1幢房子2个小朋友，一共有三个小朋友。（手势）